Part1-线性代数复习
矩阵和向量
矩阵
矩阵：由数字组成的矩形阵列，并写在方括号内
例： \[ \left[\begin{matrix} 1402 & 191 \\ 1371 & 821 \\ 949 & 1437 \\ 147 & 1448 \end{matrix}\right ] \] 矩阵的维度：矩阵的行数\(\times\)列数，如上述例子就是\(4\times2\)的矩阵，也可写成\(\mathbb R^{4\times2}\)
矩阵的元素：使用\(A_{ij}\)表示矩阵中第\(i\)行，第\(j\)列的元素，如\(A_{32}=1437\)
向量
向量：一种特殊的矩阵，是只有一列的矩阵即\(n\times1\)
例： \[ y=\left[ \begin{matrix} 460 \\ 232 \\ 315 \\ 178 \end{matrix} \right] \] 这是一个四维的向量，也可以用\(\mathbb R^4\)表示
元素表示：\(y_i\)表示第\(i\)个元素，如\(y_3=315\)
注：通常使用大写字母A、B、C、D来表示矩阵，使用小写字母a,b,x,y来表示数字或标量或向量
矩阵加减法和标量乘法
矩阵加减法
加(减)法：矩阵每个元素对应相加(减)，三个矩阵维度相同 \[ \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right ] + \left[\begin{matrix} 4 & 0.5 \\ 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right ] = \left[\begin{matrix} 5 & 0.5 \\ 4 & 10 \\ 3 & 2 \end{matrix}\right ] \]
标量乘法
标量乘法：矩阵每个元素分别与数字相乘，得到矩阵与式中矩阵维度相同 \[ 3 \times \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right ]= \left[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 6 & 15 \\ 9 & 3 \end{matrix}\right ]= \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right ] \times 3 \] 标量除法：矩阵每个元素分别与数字相除，结果与矩阵维度相同 \[ \left[\begin{matrix} 4 & 0 \\ 6 & 3 \end{matrix}\right ]/4= \frac{1}{4}\left[\begin{matrix} 4 & 0 \\ 6 & 3 \end{matrix}\right ]= \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & \frac{3}{4} \\ \end{matrix}\right ] \]
矩阵乘法
矩阵与向量相乘：取矩阵的每行与向量的一列分别相乘再相加，得到一个结果，最终组成一个向量
维度：\(\mathbb R^{m \times n} \mathbb R^n = \mathbb R^{m \times 1}\)
例： \[ \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right ] \left[\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}\right ]= \left[\begin{matrix} 16 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\right ] \] 矩阵和矩阵相乘
维度：\(\mathbb R^{m \times n} \mathbb R^{n\times o} = \mathbb R^{m \times o}\)
例： \[ \left[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right ] \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 5 & 2 \end{matrix}\right ]= \left[\begin{matrix} 11 & 10 \\ 9 & 14 \\ \end{matrix}\right ] \\ 具体可理解为多次与向量相乘如：\\ \left[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right ] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}\right ]= \left[\begin{matrix} 11 \\ 9 \end{matrix}\right ] \\ \left[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right ] \left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\right ]= \left[\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}\right ] \\ 拼接后得到结果：\left[\begin{matrix} 11 & 10 \\ 9 & 14 \\ \end{matrix}\right ] \]
矩阵乘法的特性
\(A\times B \ne B\times A\)
\(A\times B\times C=A\times(B\times C)=(A\times B)\times C\)
特殊矩阵：单位矩阵\(I\)或\(I_{n\times n}\)，即对角线上为1的正方形矩阵。对于任何矩阵，其乘以单位矩阵，结果仍是它自己，\(A\cdot I=I\cdot A=A\)
如：\(\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right ]\)
矩阵的逆和转置
逆矩阵
在实数空间中，1 = "单位"，对于每个实数(0除外)，都有一个倒数，即\(x(x^{-1}=1)\)
对于矩阵来说，如果\(A\)是一个\(m\times m\)的矩阵，并且如果它有逆矩阵，则\(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)
用术语来说，不存在逆矩阵的矩阵被称为奇异矩阵或退化矩阵
矩阵的转置
矩阵的转置用\(A^T\)来表示，对于一个\(m \times n\)的矩阵A，对于它的转置\(B=A^T\)有\(B_{ij}=A_{ji}\)，且B为\(n \times m\)的矩阵
例：\(A=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 5 & 9 \end{matrix}\right ]\)则\(A^T=\left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ 0 & 9\end{matrix}\right ]\)