灰色预测模型
概要
灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法。其对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效。
灰色系统
灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统。作为两个极端，我们将信息完全未确定的系统称为黑色系统；将信息完全确定的系统为白色系统。区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
灰色系统的特点
- 用灰色数学(不定积分、微积分等包括未知参数/导数的)处理不确定量，使之量化
- 充分利用已知信息寻求系统的运动规律
- 灰色系统理论能处理贫信息系统
常见的灰色预测
- 数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。(eg:1,3,5,7,9,预测下一个)
- 灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
- 季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测
- 拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。
- 系统预测，通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
建立基于模型的灰色预测
数据的预处理(使用累加) \[ x^{(1)}(i) =\{\sum_{j=1}^ix^{(0)}(j)|i=1,2,...,N\} \] 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称一次累加生成，显然有$ x{(1)}(1)=x{(0)}(1) $
通过图形预测后，使用累减还原 \[ \delta x^{(1)}(i)=x^{(1)}(i)-x^{1}(i-1)=x^{(0)}(i),其中i=1,2,...,N,x^{(0)}=0 \]
建模原理，给定\(x^{(0)}={x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(N)}\)，经一次累加得\(x^{(1)}=\{x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(N)\}\) ，设\(x^{(1)}\) 满足一阶常微分方程\(\frac{dx^{(1)}}{dt}+ax^{(1)}=u\) ，其中a为常数，u称为发展灰数，为内生控制类数，是对系统的常定输入，此方程满足初始条件：
当\(t=t_0时x^{(1)}=x^{(1)}(t_0)\)的解为\(x^{(1)}(t)=[x^{(1)}(t_0)-\frac{u}{a}]e^{-a(t-t_0)}+\frac{u}{a}\) ,对等间隔取样的离散值则为\(x^{(1)}(k+1)=[x^{(1)}(1)-\frac{u}{a}]e^{-ak}+\frac{u}{a}\) ，通过最小二乘法来估计常数a与u
精度检验
- 残差检验
- 后验差检验
- 预测精度等级对照
GM(1,1)的建模步骤：
由原始数据序列\(x^{(0)}\)计算一次累加序列\(x^{(1)}\)
建立矩阵B,y
求逆矩阵\((B^TB)^{-1}\)
根据\(\hat{U}=(B^TB)^{-1}B^Ty求估计值\hat{a}和\hat{u}\)
用时间响应方程计算拟合值\(\hat{x}^{(1)}(i)\)，再用后减运算还原，即： \[ x^{(0)}(i)=x(i)-\hat{x}^{(1)}(i-1)(i=2,3,...,N) \]
精度检验与预测