优劣解距离法Topsis
介绍
TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。可翻译成逼近理想解排序法，国内常简称优劣解距法。
指标分类
- 极大型指标(效益性指标)：越大越好，例如成绩
- 极小型指标(成本型指标)：越小越好，例如费用
- 中间型指标：越接近某个值越好，例如水质量评估的PH值
- 区间型指标：落在某个区间最好，例如体温
将所有指标转化为极大型称为指标正向化(最常用)
极小型指标转换为极大型指标的公式：max-x
为了消去不同指标量纲(单位)的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理
标准化计算公式: \[ 标准化矩阵中的元素\frac{z_{ij}=x_{ij}}{\sqrt(\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}^2))} \]
## 计算得分
计算评分公式：\(\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离}\)
定义最大值$ Z+=(Z_1{+},Z_2{+},,Z_{m}{+})=(max(z_{11},z_{21},,z_{n1}),max(z_{12},z_{22},,z_{n2}),,max(z_{1m},z_{2m},,z_{nm})) $
定义最大值$ Z-=(Z_1{-},Z_2{-},,Z_{m}{-})=(min(z_{11},z_{21},,z_{n1}),min(z_{12},z_{22},,z_{n2}),,min(z_{1m},z_{2m},,z_{nm})) $
定义第i(i=1,2,...n)个评价对象与最大值的距离$ D_i^+= $
定义第i(i=1,2,...n)个评价对象与最小值的距离$ D_i^-= $
则可以计算出第i(i=1,2,...,n)个评价类对象未归一化的得分：$ S_i= $
0$S_i\(1，且\)S_i\(越大\)D_i^+$越小，即越接近最大值。
使用步骤
- 将原始矩阵正向化，所谓将原始矩阵正向化，就是将所有的指标类型统一转化为极大型指标
- 极小型转为极大型公式：max-x
- 中间型转为极大型公式：$ M=max(|x_i-x_{best}|,x_i^{'}=1-) $
- 区间型转为极大型公式：$ M=max(a-min(x_i),max(x_i)-b),x_i^{'}= \[\begin{cases} 1-\frac{a-x}{M}，x<a\\ 1 ,a\leqslant x \leqslant b\\1-\frac{x-b}{M}，x>b\end{cases}\] $
- 正向化矩阵标准化
- 目的是消除不同指标量纲(单位)的影响
- 直接使用标准化公式$ z_{ij}= $（每一个元素/sqrt(其所在列的元素的平方和)）
- 计算得分并归一化
- 方法即计算得分中的步骤
扩展
可以使用层次分析法给评价指标确定权重：\(\sum_{j=1}^m\omega_j=1\)
基于熵权法对Topsis模型修正
- 商权法依据原理：指标的变异程度(方差)越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。
- 信息量：越有可能发生的事情，信息量越少；越不可能发生的事情，信息量就越多。
- 衡量事情发生的可能性的大小：概率