层次分析法

简介

The analytic hierarchy process,简称AHP，最基础模型之一，主要用于解决评价类问题(例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或员工表现更优秀)

评价类问题可以用打分解决

解决评价类问题，首先要想到以下三个问题：

以旅游为例，可供选择A,B,C：

答：选择最佳旅游景点

答：景色、花费、居住、饮食、交通

一般而言，前两个问题答案是显而易见的，第三个问题需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行整合，从中筛选出最合适的指标。

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由此构成判断矩阵

$a_{ij}=i的重要程度/j的重要程度$

$a_{jk}=j的重要程度/k的重要程度$

$a_{ik}=i的重要程度/k的重要程度=a_{ij}*a_{jk}$

若矩阵中每个元素$ a_{ij} $>0且满足$a_{ij}*a_{ji}=1$,则我们称该矩阵为正互反矩阵

在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵

若正互反矩阵满足$a_{ij}*a_{jk}=a_{ik}$，则我们称其为一致矩阵

在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验

n	1	2	3	4	5	6	7	8
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41

9	10	11	12	13	14	15
1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

必须进行归一化处理 \[ i = \frac{a_{ij}}{a_{1j}+a_{2j}+\cdots+a_{ij}+\cdots+a_{nj}} \]

算术平均法求权重
1. 将判断矩阵按照归一化(每一个元素除以其所在列的和)
2. 将归一化的各列相加(按行求和)
3. 将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量 \[ \omega_{i}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n}a_{kj}} \]
几何平均法求权重
1. 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2. 将新的向量的每个分量开n次方
3. 对该列向量进行归一化即可得到权重向量 \[ \omega_{i}=\frac{(\prod_{j=1}^{n}a_{ij})^\frac{1}{n}}{\sum_{k=1}^{n}(\prod_{j=1}^{n}a_{kj})^\frac{1}{n}} \]
特征值法求权重(使用最多的)
1. 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
2. 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到权重
汇总结果得到权重矩阵
计算各方案的得分

比赛时建议三种方案全用，然后在结尾加上：为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更高效。